INFO - Informacie o MFF UK

NA - Numericka analyza a optimalizacia (IS: 642113)

Velky blok: Numericka analyza a optimalizacia.

Gestor: Prof.RNDr. Jozef Kacur, DrSc.

Predmety: Numericke metody linearnej algebry a optimalizacia.
	  Numericke riesenie diferencialnych rovnic.



Predmet: Numericke metody linearnej algebry a optimalizacia
      
1) Numericke metody linearnej algebry
   1) Priame metody riesenia regularnej sustavy linearnych algebraickych rov- 
      nic (GEM a jej modifikacie - LU-, LDL -,LL -,LTL - rozklady, pivotiza- 
      cia, iteracne spresnenie pomocou rezidua)
   2) Iteracne metody riesenia regularnej sustavy linearnych algebraickych 
      rovnic (podmienky konvergencie, odhad presnosti priblizneho riesenia, 
      prehlad zakladnych metod: Jacobiho, Gaussova- Seidelova, SOR, metoda
      gradientneho spadu, metoda zdruzenych smerov - specialne zdruzenych 
      gradientov)
   3) Stabilita riesenia sustavy linearnych algebraickych rovnic (podmienenost
      sustavy, odhad cisla podmienenosti, odhad chyby vypocitaneho riesenia 
      pred vypoctom a po vypocte pomocou rezidua, dosiahnutelnost horneho od-
      hadu chyby, numericka regularita, zlepsenie podmienenosti skalovanim, 
      stabilita algoritmu)
   4) Problem najmensich stvorcov pre matice s plnou hodnostou (normalne rov- 
      nice, QR- rozklad pomocou Grama-Schmidta resp. Householdera, spresnenie
      vypocitaneho riesenia, odhad presnosti vypocitaneho riesenia)
   5) Problem najmensich stvorcov pre matice s neuplnou hodnostou (najlepsie 
      priblizne riesenie s najmensou normou a pseudoinverzia,singularny roz- 
      klad, numericka hodnost, numericka pseudohodnost a jej odhad, diskretna 
      spojita regularizacia)
   6) Ciastocny problem vlastnych cisel (mocninova metoda na vypocet najvac- 
      sieho vlastneho cisla a inverzna mocninova metoda na vypocet vlastneho 
      vektora, Rayleighova metoda, prevedenie matice na Hessenbergov tvar, vy-
      pocet vlastneho cisla matice v Hessenbergovom resp. trojdiagonalnom tva-
      re - Wilkinsonova metoda, spojena s metodou na urcenie korena polynomu,  
      metoda bisekcie, spojena s Givensovou resp. LDL - metodou)
   7) Uplny problem vlastnych cisel (Jacobiho metoda pre symetricke matice   
      na vlastne cisla aj vlastne vektory, QR-transformacia pre symetricke i 
      nesymetricke matice ako specialny pripad zovseobecnenej mocninovej meto-
      dy a jej zrychlenie pomocou posunu)
   8) Stabilita problemu vlastnych cisel (podmienenost problemu vlastnych ci-
      sel, lokalne a globalne cislo podmienenosti, numericka akceptovatelnost 
      vypocitaneho vlastneho cisla a vlastneho vektora, odhad chyby jednodu- 
      cheho vlastneho cisla a k nemu patriaceho vlastneho vektora, vyvazovanie 
      matic)
2) Metody riesenia sustav s riedkymi maticami
   1) Modifikacie priamych metod na riesenie riedkych sustav (ulozenie matice 
      v pocitaci, minimalizacia zaplnenia grafovymi metodami, Markovitzova 
      strategia, neuplny LU-rozklad, barierova metoda, blokove priame metody: 
      metoda faktorizacie a maticovej redukcie pre blokovo trojdiagonalne ma-
      tice, frontalna metoda)
   2) Specialne iteracne metody na riesenie riedkych sustav (polynomicke 
      zrychlenie pomocou Cebysevovych polynomov resp. zdruzenych gradientov, 
      blokove superrelaxacne metody, kombinovane metody, k-krokove metody, 
      zlepsovanie podmienenosti, metoda striedavych smerov)
3) Numericke metody funkcionalnej analyzy
   1) Newtonova-Kantorovicova metoda riesenia operatorovej rovnice  Tx_=_0
   2) Vseobecne iteracne metody
   3) Metoda secnic (Wolfeho a Newtonova formulacia)
   4) Zovseobecnene linearne metody
   5) Princip homotopickych metod a jeho numericka realizacia
4) Linearne programovanie
   1) Prakticke priklady uloh LP a formulacia modelov (uloha o vyzive, model 
      vyroby), specialne tvary uloh LP a vztahy medzi nimi (rovnice, nerovni- 
      ce, nezaporne premenne).
   2) Struktura polyedrickej mnoziny a vztah k ulohe LP (krajne body, hrany, 
      steny), veta o reprezentacii.
   3) Dualita v LP, motivacia, zakladne vety o dualite a ich pouzitie (slaba, 
      silna a veta o komplementarite).
   4) Simplexove metody LP - primarna (dvojfazovy pristup, problem zacyklenia, 
      lexikograficka metoda), dualna a revidovana simplexova metoda.
   5) Riesenie dopravnej ulohy LP (adaptacia simplexoveho algoritmu, zacykle- 
      nie, celociselnost rieseni).
   6) Parametricke programovanie a analyza citlivosti v ulohach LP (parameter 
      v ucelovej funkcii alebo na pravej strane, citlivost nedegenerovaneho 
      riesenia).
5) Nelinearne programovanie
   1) Existencne vety pre extrem a sedlovy bod typu "minmax". Vseobecna veta 
      o minmaxe. Veobecny pojem dualnej ulohy k optimalizacnej ulohe a jeho 
      aplikacia na ulohu matematickeho programovania (pojem Lagrangeovej a 
      Wolfeovej dualnej ulohy).
   2) Uloha matematickeho programovania. Kuhnova-Tuckerova veta. Tvar K-T 
      podmienok pre ulohu matematickeho programovania so zmiesanym typom ohra-
      niceni.
   3) Konvexne programovanie. Kuhnova-Tuckerova veta a jej zovseobecnenie. 
      Veta Slatera a jej vztah ku Kuhnovej- Tuckerovej vete. Dualna uloha 
      k ulohe konvexneho programovania. Vety o dualite. Tvar dualnej ulohy 
      k ulohe so zmiesanym typom ohraniceni.
   4) Geometricke programovanie (formulacia ulohy a postup pri jej rieseni). 
      Konvexifikacia primarnej ulohy a jej dualizacia. Kvalitativne porovnanie
      primarnej ulohy s dualnou ulohou. Vlastnosti dualnej ulohy. Porovnanie 
      s dualitou LP.
   5) Kvadraticke programovanie. Teoria kvadratickeho programovania (Kuhnova- 
      Tuckerova veta a vety o dualite). Simplexove algoritmy kvadratickeho 
      programovania (Wolfe, Whinston-Van de Panne, Lemke).
   6) Parametricke transformacne metody vnutorneho bodu. Vseobecna teoria kon-
      vergencie. Barierove a kvazibarierove transformacne funkcie. Vztah medzi 
      Kuhnovymi-Tuckerovymi podmienkami pre ulohu konvexneho programovania a 
      parametrickymi transformacnymi funkciami vnutorneho bodu. Slabobarierove 
      a slabo kvazibarierove metody.
6) Metody volnej optimalizacie
   1) Klasicke metody minimalizacie funkcie n premennych (Cauchyho metoda naj-
      vacsieho spadu, Newtonova a modifikovana Newtonova metoda, metoda cyk- 
      lickej suradnicovej redukcie) a metoda konjugovanych gradientov 
      Fletchera-Reevesa.
   2) Kvazinewtonovske metody. Zakladna myslienka konstrukcie kvazinewtonov- 
      skych formul. Formuly DFP, BFGS,SR1. Broydenova trieda formul. Green- 
      stadt-Dennisova a univerzalna trieda kvazinewtonovskych formul hodnosti 
      dva.
   3) Metody s ohranicenym krokom (zakladna myslienka, porovnanie s klasickou 
      schemou, sposoby riesenia pomocnej ulohy) a riesenie uloh nelinearnej 
      regresie (formulacia ulohy NR, princip iteracnych schem riesenia ulohy 
      NR, Gauss-Newtonova metoda a  Levenberg-Marquardtova  metoda).
7) Struktura udajov a databazove systemy v modernom software
   1) Datove struktury (abstraktne struktury, pamatove struktury), zobrazenie
      abstraktnych struktur do pamatovych, spracovanie zoznamov.
   2) Subory (specifikacia suboru, struktura suboru, typy suborov, metody 
      vyberu, operacie so subormi).
   3) Triedenie (triediace algoritmy, zmiesavanie, prerusovane triedenie).
   4) Databazove systemy 9databaza, system riadenia databazy, architektura
      databazovych systemov, relacny model databazy, relacna databaza dBase
      III plus).

Predmet: Numericke metody riesenia diferencialnych rovnic

1) Uvod do numerickych metod
   1) Analyza chyb, pocitacova aritmetika a vycislovanie funkcii
   2) Nelinearne rovnice a ich numericke riesenie
   3) Interpolacia, linearne a kubicke splajny
   4) Numericka derivacia a Richardsonova extrapolacia
   5) Numericka kvadratura
   6) Metoda najmensieho suctu stvorcov
2) Diferencne metody riesenia diferencialnych rovnic
   1) Jednokrokove metody
   2) Viackrokove metody
   3) Diferencne metody riesenia ODR 2. a 4 radu
   4) Rotheho metoda a metoda priamok na riesenie PDR parabolickeho typu
   5) Explicitne a implicitne metody a Cranck-Nicholsonova na riesenie PDR 
      parabolickeho typu
   6) Metody sieti na riesenie PDR eliptickeho typu
3) Metoda konecnych prvkov
   1) Metoda MKP a pribuznych metod (Galerkinova metoda, MKP, metoda okrajo- 
      vych prvkov, metoda konecnych objemov, porovnanie uvedenych metod s me-
      todou sieti, dualna MKP, celkovy algoritmus MKP)
   2) Riesenie PDR eliptickeho typu pomocou MKP (konstrukcia konecnorozmernych 
      podpriestorov energetickeho priestoru pomocou MKP, vytvorenie matice tu-
      hosti a mass matice, vety o konvergencii, aposteriorne odhady a adapti- 
      vita, metody riesenia vzniknutych rovnic - frontalna metoda, optimaliza-
      cia pasu matice, multigridne metody)
   3) Teoria interpolacie v Sobolevovych priestoroch s aplikaciou na aproxima- 
      ciu riesenia PDR eliptickeho typu 2. radu , odhad chyby v H  norme a 
      v L  norme
   4) Riesenie evolucnych uloh pomocou MKP (aproximacia casova resp. priesto- 
      rova, stabilita, adaptivita, konvergencia pre PDR parabolickeho a hyper- 
      bolickeho typu)
   5) Prakticke aspekty MKP (numericka integracia, aproximacia nehomogennnej 
      Dirichletovej okrajovej podmienky, variacny zlocin, volba aproximacnych 
      priestorov)
   6) Riesenie ulohy na vlastne cisla pomocou MKP, riesenie variacnych nerov- 
      nic pomocou MKP, riesenie neliearnych PDR eliptickeho typu pomocou MKP
4) Variacne metody riesenia diferencialnych rovnic
   1) Sobolevove priestory
   2) Kompaktnost vo funkcionalnych priestoroch C, L , W
   3) Variacna formulacia eliptickych, parabolickych a hyperbolickych okrajo- 
      vych a okrajovo-pociatocnych uloh
   4) Existencia a jednoznacnost variacnych rieseni eliptickych uloh, Lax- 
      Milgramova veta
   5) Konvergencia Galerkinovej a Ritzovej metody
   6) Vlastne cisla a prvky samoadjungovanych kompaktnych operatorov, Sturm- 
      Liuvilleova veta
   7) Vlastne funkcie a vlastne cisla eliptickych uloh
   8) Fredholmova alternativa eliptickych uloh
5) Riesenie stiff uloh
   1) Stiff uloha -formulacia, sposoby urcenia tuhosti danej ulohy, prakticke 
      ulohy veduce na stiff ulohy a sposob ich riesenia
   2) Implicitne R-K metody na riesenie stiff uloh
   3) Kontraktivnost a stabilita metod riesenia stiff uloh, pojem A-, B-,C- a 
      D- stability 
6) Klasicke metody riesenia diferencialnych rovnic a Integralne transformacie
   1) Lagrangeova metoda variacie konstant na riesenie nehomogennych linear- 
      nych ODR a ich sustav
   2) Fourierova metoda separacie premennych na riesenie PDR
   3) Laplaceova a Fourierova transformacia a ich pouzitie

Dátum poslednej aktualizácie tohto dokumentu: 29.4.99.
Posledná aktualizácia údajov v systéme: 091006-V393.