INFO - Informacie o MFF UK

MS - Matematicke struktury (IS: 642112)

	Velky blok: Matematicke struktury

Gestor: Prof. RNDr. Tibor Katrinak, DrSc.

Predmety: Algebra a logika. 
          Analyza a topologia.


Predmet: Algebra a logika

Zakladna  veta  aritmetiky,  vlastnosti  prvocisel,  zakladne 
vlastnosti   kongruencii.   Diofanticke   rovnice,    pytagorejske 
trojuholniky.
     Pojem modulu a zakladne vlastnosti.  Volne  moduly,  zakladna 
veta o tvare konecne generovaneho modulu. Kanonicke  tvary  matic, 
podobne  matice.  Charakteristicky  a  minimalny  polynom  matice, 
elementarne delitele a invariantne faktory matic.
     Sylowove vety z teorie konecnych  grup.  Volna  grupa  a  jej 
podgrupy. Volny sucin grup. Radikaly idealu, prvoideal a maximalny 
ideal okruhu. Polopriamy sucin okruhov. Okruhy  zlomkov,  primarny 
rozklad idealu. 
     Rezultant.  Vlastnosti  polynomov  nad   polom   realnych   a 
komplexnych cisel. Separacia korenov, ohranicenie korenov. Sturmov 
system. Numericky vypocet korenov. 
     Polynomy  nad  konecnym   polom,   ich   rozklad   na   sucin 
ireducibilnych polynomov. Rozkladove pole  polynomu.  Bezpecnostne 
kody.  Linearne  kody,  Hammingove  kody.  Generujuce  polynomy  a 
cyklicke kody.
     Grafy a ich zakladne vlastnosti.  Minimalna  cesta  v  grafe, 
algoritmus na  minimalnu  kostru.  Fordov-Fulkersonov  algoritmus, 
Hallova  veta.  Linearny  faktor,  zlozitost  algoritmov.  Problem 
obchodneho cestujuceho. Problem cinskeho postara.
     Rovinne grafy, Eulerova  rovnost.  Farbenie  grafov,  veta  o 
piatich farbach. Kruznice v grafoch, hamiltonovske idealy, Chvatalova 
veta. Stabilita a uzaver grafov. Hamiltonovske kruznice a zakazane 
podgrafy. Hamiltonovske kruznice a hranove grafy eulerovskych grafov.
     Grupy automorfizmov grafu, vrcholovo a hranovo tranzitivne grafy.
Fruchtova veta. Charakterizacia vrcholovo tranzitivnych grafov.
Cayleyho grafy. Konstrukcia vrcholovo tranzitivnych grafov grafov, 
ktore nie su Cayleyho grafmi. Cirkulantne grafy a hamiltonovske kruznice.
     Turanova veta, konecny pripad Ramseyovej vety. Grafove 
Ramseyove cisla, Chvatalova veta, R(Km,Tn)=(m-1)(n-1).
     Enumeracne ulohy. Vytvarajuce  funkcie  a  ich  pouzitie.
Stirlingove   cisla. Princip zapojenia a vypojenia a jeho zovseobecnenia.
Spernerova veta. Chromaticky polynom grafu. Cyklovy index grupy.
Polyova veta, Cayleyho veta. Hallova veta, Konigova veta. Algoritmus 
na najdenie systemu rozlicnych reprezentantov.
     Jazyky  a  teorie  prveho   radu,   prenexny   tvar   formul. 
Dokazatelnost a veta o dedukcii. Struktury prveho  radu,  splnanie 
formul, modely teorii. Uplne teorie, Henkinovske teorie.  Godelova 
veta o uplnosti. Veta o kompaktnosti a jej aplikacie. Podstruktury 
a homomorfizmy, zachovavanie vlastnosti - univerzalne a  pozitivne 
formuly. Filtrovany sucin a zachovavanie Hornovych formul.
Ultraprodukt  a   Losova   veta.   Elementarna   ekvivalencia   a 
elementarne  podstruktury,  Tarskeho  kriterium.   Charakterizacia 
elementarnych    tried.    Peanova    aritmetika,     formalizacia 
dokazatelnosti. Godelove  vety  o  neuplnosti,  Godelova-Rosserova 
veta. Tarskeho veta o nedefinovatelnosti relacie splnania.
     Zakladne  pojmy  teorie  mnozin  (Boolovska  algebra  mnozin, 
relacie  zobrazenia,  ekvivalencia   a   rozklad,   usporiadanie). 
Konstrukcie  usporiadanych  mnozin,  Hasseovej  diagramy,   zvazy, 
uplnost. Naivna teoria mnozin a jej paradoxy, axiomatizacia teorie 
mnozin, system ZF. Axioma vyberu a vseobecny  karteziansky  sucin. 
Mnozinova ekvivalencia a subvalencia,  pojem  kardinalneho  cisla, 
scitovanie, nasobenie a umocnovanie kardinalnych cisel. Kardinalna 
aritmetika, Cantorova-Bersteinova veta. Diagonalizacia,  Cantorova 
veta. Mohutnosti aleph0 a  a c, mohutnosti niektorych dolezitych  mnozin. 
Dobre  usporiadanie,  strukturne  vety   o   dobre   usporiadanych 
mnozinach. Operacie na dobre  usporiadanych  mnozinach,  ordinalne 
cisla  a  ich  aritmetika.  Charakterizacia  ordinalov omega  a Omega . 
Princip  dobreho  usporiadania  a  axioma  vyberu.  Transfinitivna 
indukcia, Zornova lema.
     Univerzalne   algebry,   zakladne   algebraicke   konstrukcie 
(faktorova algebra, priamy a polopriamy sucin),  zaqz  kongruencii 
algebry,  variety  algebier,  Birkhoffova  veta.  Distributivne  a 
modularne zvazy. Boolovske algebry a ich reprezentacia.

 Predmet: Analyza a topologia

     Topologicke   priestory,   axiomy   oddelitelnosti.   Spojite 
funkcie. Zakladne topologicke  konstrukcie  (topologicky  sucin  a 
sucet, faktorovy priestor). Suvisle, lokalne kompaktne a kompaktne 
priestory, regularne a uplne  regularne  priestory,  parakompaktne 
priestory. Konvergencia  v  topologickych  priestoroch  (filtre  a 
siete). Uniformita a uniformne priestory, uplne priestory. Problem 
metrizacie topologickych priestorov.
     Homotopia  a  homotopicke  zobrazenia,  fundamentalna  grupa. 
Fundamentalna grupa  kruznice,  Van-Kampfenova  veta.  Nakryvajuce 
priestory  a  ich  aplikacie  pri  vypocte  fundamentalnej  grupy. 
Geometricke  a  retazcove  komplexy.  Singularne  a   simplicialne 
homologie. Mayerova-Vietorisova postupnost. Aplikacie homologii na 
RxR.
     Diferencovatelne  variety  a   funkcie.   Dotykova   varieta. 
Vlozenie kompaktnych variet do R . Veta o  lokalnej  inverzii  a 
veta o implicitnych funkciach. Vektorove fibracie. Sardova veta.

Dátum poslednej aktualizácie tohto dokumentu: 29.4.99.
Posledná aktualizácia údajov v systéme: 091006-V393.