INFO - Informacie o MFF UK

MA - Matematicka analyza (IS: 642111)

           
          Velky blok: Matematicka analyza.

Gestor: Doc. RNDr. Milan Gera, CSc.

Predmety: Matematicka analyza. 
          Diferencialne rovnice



 Predmet:Matematicka analyza
   a. Matematicka analyza.
        Spojitost funkcie jednej a viacerych premennych, spoji-
      tost komplexnej funkcie komplexnej premennej, spojitost
      zobrazenia z Rm  do Rk . Zakladne vety o spojitych funkciach,
      Weierstrassove vety.

        Diferencovatelnost funkcie jednej a viacerych premen-
      nych, diferencovatelnost zobrazenia z Rm  do Rk . Diferen-
      covatelnost a spojitost. Taylorov vzorec, extremy fun-
      kcii.
        Derivacia komplexnej funkcie, Cauchy-Riemannove rovno-
      sti. Cauchyho integralny vzorec, rozvoj analytickej funk-
      cie do Taylorovho radu. Laurentov rad, klasifikacia izo-
      lovanych singularnych bodov.
        Postupnosti a rady funkcii. Bodova a rovnomerna konver-
      gencia, mocninove rady, polomer, resp. kruh konvergencie,
      derivovanie a integrovanie funkcionalnych postupnosti
      a radov. Taylorov  rad. Fourierov trigonometricky rad,
      postacujuce podmienky pre bodovu a rovnomernu konvergenciu.


        Riemannov integral funkcie jednej a viacerych premennych
      a jeho zakladne vlastnosti. Nutne a postacujuce podmienky
      integrovatelnosti. Metody vypoctu ( Fubiniova veta, veta o
      transformacii ).
        Parametricke integraly, spojitost a derivacia integralu
      zavisleho od parametra.
        Krivkove a plosne integraly, zakladne vlastnosti a vypo-
      cet. Greenova veta, Gaussova - Ostrogradskeho a Stokesova
      veta ( bez dokazov ).
        Lebesgueov integral, jeho zakladne vlastnosti. Vztah mera-
      telnych a spojitych funkcii ( Luzinova veta ). Vety o li-
      mitnych prechodoch, Lebesgueova veta. Vztah Lebesgueovho
      k Riemannovmu integralu.

   b.  Funkcionalna analyza

        Topologicky priestor, metricky priestor, separabilny
      priestor, kompaktny priestor, Hausdorffov priestor, normalny
      priestor. Kompaktnost mnozin v C a Lp  ( 1 <= p <=nekonecno ).
      Vlastnosti homeomorfnych zobrazeni.  Spojity
      obraz kompaktnych a suvislych mnozin.

       Linearny normovany priestor, Banachov priestor. Linearne
     spojite operatory a funkcionaly. Priestor linearnych ohra-
     nicenych operatorov. Banachova - Steinhausova veta, veta
     o otvorenom zobrazeni. Uzavrete operatory a veta o uzavre-
     tom grafe. Hahnova - Banachova veta. Dosledky tychto viet.
       Hilbertov priestor. Veta o reprezentacii linearneho spoji-
     teho funkcionalu. Veta o najlepsej aproximacii, veta o orto-
     gonalnom rozklade.
     Fourierove rady, Besselova nerovnost, Parsevalova rovnost,
     rozvoj do Fourierovho radu.
       Priestory spojitych linearnych funkcionalov, dualne prie-
     story k C a Lp  ( 1 <= p <=nekonecno )L (1 = p =   ). Druhy dual, 
     reflexivne priestory,
     slaba konvergencia. Slaba kompaktnost v reflexivnom pries-
     tore, Eberleinova-Smuljanova veta (bez dokazu).
       Spektralna teoria linearnych operatorov. Spektrum kompakt-
     neho a samoadjungovaneho operatora. Aplikacie.
       Vety o pevnych bodoch. Banachova, Brouwerova a Schauderova
     veta. Aplikacie.
       Diferencialny pocet v Banachovych priestoroch. Gateauxov
     a Frechetov diferencial. Postacujuce podmienky pre existenciu
     minima diferencovatelnych funkcionalov.

 Predmet:Diferencialne rovnice.

       Systemy diferencialych rovnic. Existencia a jednoznacnost
     zaciatocnych uloh. Picardova a Peanova existencna veta.
       Globalne vlastnosti rieseni diferencialnych systemov.
     Uplne riesenie a jeho vlastnosti. Spojita zavislost rieseni
     od zaciatocnych podmienok a parametrov.
       Linearna  diferencialna  rovnica  n-teho  radu  a linearne
     diferencialne systemy. Struktura mnoziny rieseni. Stabilita
     linearnych diferencialnych systemov.
       Stabilita nelinearnych diferencialnych systemov.          
     Okrajove ulohy. Sturmov - Liouvilleov okrajovy problem.
     Autonomne systemy diferencialnych rovnic, pojem dynamickeho
     systemu, orbitalna ekvivalencia, zakladne bifurkacie.

       Klasifikacia linearnych parcialnych diferencialnych rovnic
     2.radu v bode a v okoli.
       Fourierova metoda pre hyperbolicke, parobolicke a elip-
     ticke zmiesane a okrajove ulohy ( vlnova rovnica, rovni-
     ca pre vedenie tepla, Laplaceova rovnica ).
       Princip maxima pre parabolicke a elipticke rovnice.
       Cauchyho uloha pre hyperbolicke a parabolicke rovnice
     ( vlnova rovnica, D Alembertov vzorec, rovnica pre vedenie
     tepla ).
       Fundamentalne riesenie a Greenova funkcia pre parabolicke
     a elipticke ulohy.
       Sobolevove priestory Wk,p , stopy funkcii z  W1,2  , slabe riese-
     nia eliptickych uloh, Laxova-Milgramova veta.

Dátum poslednej aktualizácie tohto dokumentu: 29.4.99.
Posledná aktualizácia údajov v systéme: 091006-V393.