Riešenie inverzných problémov s variačnou štruktúrou metódami nelineárnej optimalizácie (projekt VEGA)
Predkladaný projekt sa venuje matematickej analýze a numerickému riešeniu triedy inverzných problémov s variačnou štruktúrou prostredníctvom moderných nelineárnych optimalizačných metód. Skladá sa z dvoch hlavných pracovných balíkov. Prvá časť projektu je venovaná analýze inverzných problémov, ktoré môžu byť opísané pomocou riešení nekonvexných funkcionálov vyskytujúcich sa napríklad pri konštrukcii optimálnej Finslerovej funkciu anizotropie priestoru. Metodika riešenia je založená na transformácii problému na kónický optimalizačný problém, ktorý sa potom dá efektívne vyriešiť pomocou semidefinitných relaxačných techník. Druhá časť projektu je zameraná na teoretické a metodologické aspekty kónického programovania a vývoju nových metód a dôležitých techník v oblasti kónickej optimalizácie, ktoré môžu byť použité pre riešenie inverzných úloh s variačnou štruktúrou.
Zodpovedný riešiteľ: prof. RNDr. Daniel Ševčovič, CSc.
Spoluriešitelia: RNDr. Mária Trnovská, PhD., doc. RNDr. Margaréta Halická, CSc., doc. RNDr. Beáta Stehlíková, PhD., Mgr. Soňa Kilianová, PhD., Mgr. Zuzana Bučková, Mgr. Pedro Pólvora, Mgr. Roman Kukumberg
Financovanie projektu: Vedecká grantová agentúra MŠVVaŠ SR a SAV, VEGA 1/0330/13
Obdobie riešenia projektu: 2015-2017
Mnohé variačné problémy vznikajúce v aplikáciách môžu byť formulované z hľadiska minimalizácie daného energetického funkcionálu. Napríklad, minimalizačný problém pre anizotropickú Ginzburg-Landauovu voľnú energiu, v ktorej vystupuje Finslerova metrika charakterizujúca anizotropiu prostredia (v rôznych smeroch sa vzdialenosti merajú rôzne) . V prácach Ševčoviča a Trnovskej sme sa zamerali na problém identifikácie Finslerovej geometrie pomocou minimalizácie izoperimetrického pomeru vzhľadom na Finslerovu funkciu. Výsledky budeme aplikovať na hľadanie funkcie anizotropie prostredia, ktorá stojí za vytváraním reálnych objektov akými sú napríklad snehové vločky.
Matematická formulácia problému vedie na úlohy nelineárneho programovania nad kuželmi, ktoré tvorí širokú triedu úloh konvexnej optimalizácie intenzívne študovanej v súčasnosti. Jedná sa o zovšeobecnenie lineárneho programovania na problémy s lineárnou účelovou funkciou, pričom prípustná množina je daná ako konvexný kužeľ. Trieda LCP obsahuje lineárne programovanie, programovanie druhého rádu, semidefinitné programovania i mnoho ďalších nelineárnych optimalizačných úloh ako svoj špeciálny prípad.