Fakulta matematiky, fyziky
a informatiky
Univerzity Komenského v Bratislave

Seminár z algebratickej teórie grafov - Martin Vodička (4.5.2018)

v piatok 4.5.2018 o 13:30 hod. v miestnosti M 213


03. 05. 2018 09.22 hod.
Od: Martin Mačaj

Prednášajúci: Martin Vodička

Názov: Lokálna vnoriteľnosť grúp do konečných IP lúp

Termín: 4.5.2018, 13:30 hod., M/213


Abstrakt:

V r. 1998 A.M.Veršik a E.I. Gordon zaviedli vo svojom článku pojem grupy lokálne vnoriteľnej do konečných grúp (LEF). Grupa je LEF, ak každú konečnú štvorcovú podtabuľku jej multiplikatívnej grupy možno doplniť na multiplikatívnu tabuľku nejakej konečnej grupy.

Dokázalo sa, že nie každá grupa má túto vlastnosť, a preto bolo prirodzeným krokom zoslabiť štruktúru, do ktorej sa snažíme grupu vnoriť.

Bolo dokázané, že každá grupa sa dá lokálne vnoriť do konečných kvázigrúp a aj konečných lúp. Tento výsledok zlepšil M. Ziman v r. 2005, keď dokázal, že každá grupa je lokálne vnoriteľná do konečných tzv. IAA lúp. Avšak IAA lupy sú stále "ďaleko" od grúp. Oveľa bližšie ku grupám sú IP lupy, ktoré spĺňajú vlastnosť inverzie. Ukážeme, že každá IP lupa, a teda aj každá grupa, je lokálne vnoriteľná do konečných IP lúp. Dôkaz je konštruktívny, využíva Steinerove systémy trojíc a nakoniec sa problém prevedie na nie ťažký problém z teórie grafov, kde využijeme aj Diracovu vetu o tom, kedy má graf hamiltonovskú kružnicu.

Pozrieme sa na niektoré časti dôkazu detailnejšie a ukážeme technické kroky, ktoré sa v dôkaze využívajú.